表皮効果とリッツ線

円筒導体に流れる電流は直流なら導体断面に一様に分布しますが、周波数の増加と共に導体表面に集中し、内部の電流密度が減る現象は「表皮効果」(skin effect)として、よく知られています。(注１)

例えば、直径 1 mm の軟銅線について、周波数 10kHz, 100kHZ, 1MHz, 10MHz に対する、導体断面の電流密度を計算すると、１図のようになります。

１図直径 1 mm の軟銅線の表皮効果

１図の x 軸は導体中心からの距離(中央が導体中心、両端が導体表面)、 y 軸は (内部の電流密度/導体表面の電流密度) です。

赤、紫、緑、薄緑の線は、それぞれ、10kHz, 100kHZ, 1MHz, 10MHz に対する導体断面の電流密度ですが、導体中心の電流密度は、10kHz で外周部の 98%、 100kHz では 41%、1MHz では 0.4% と減り、 10MHz になると 0.00000006% にしかすぎません。

表皮効果の結果として、導体の実効断面積が減少し、交流抵抗が増加しますから、コイル巻線では周波数の上昇と共に導体損失が増え、「Q」(Quality factor - 品質)が低下します。

この対策として、古くから、中波ラジオのバーアンテナのコイルとか、中間周波トランス等の巻線として使われてきたのが「リッツ線」(Litz wire)で、これは、絶縁された複数の細い導体素線を集めて撚合わせたものです。

そこで、このリッツ線のアイデアを「オーディオケーブル」に活用しようという人々がたくさん居て、２図のようなことを考えました。

２図単線導体を複数の絶縁導体に分割する (赤色は導体、青色は絶縁体)

つまり、 1 本の単線導体を導体断面積が同じになるように、複数の絶縁導体に分割するのです。例えば、7 本に分ければ、２図のようになりますが、「分割を増やせば、より表皮効果の少ないケーブルが作れるであろう。 A 社が 19 本なら、当社は 30 本、それも抜かれたら、さらに 1 本増やして ..」というのが、この種の商品を考える人々の作戦です。

かくて、リッツ線を採用したオーディオケーブルが、たくさん生まれてきましたが、果たして、この作戦は正しいでしょうか？

これが今回の問題です。

注１

単独円筒導体の高周波に於ける電流分布を求める問題は比較的簡単で、下記のようになります。１図の電流分布はこの式で計算したものですが、この図で表現されているのはその絶対値だけで、電流の位相も場所によって変わることに注意してください。導体表面から導体内部に進むにつれて、電流の位相が遅れ、逆向きにさえなります！

  Ir / Ia = I0(sqrt(j)*k*r) / I0(sqrt(j)*k*a)
  ここに
	Ir = 半径 r (m) に於ける電流密度 (A/m^2)
	Ia = 導体外周に於ける電流密度 (A/m^2)
	a = 導体半径 (m)
	j = sqrt(-1)
	k = sqrt(ω*μ*σ)
	ω = 角速度 (rad/s)
	   = 2*π*f
	π = 3.14159265..
	f = 周波数 (Hz)
	μ = 透磁率 (H/m)
	σ = 導電率 (S/m)
	I0(z) = 第１種０次の変形ベッセル関数
	I1(z) = 第１種１次の変形ベッセル関数

ワイヤの表皮効果に関する最初の数学的議論は、 1873 年の現代電磁気学の創始者 Maxwell で、その後 1884 - 1887 年に Maxwell の理論面の後継者となった、創意にあふれた天才 Heaviside が大きな貢献をして、 1884 - 1885 年の Poynting へと理論面の発展が続きますが、実験的な検証は 1886 年の Hughes が最初で、実用レベルの工学的数値計算については、無限平板の表皮効果が 1886 年の Lord Rayleigh、円筒導体については、 1889 年の Lord Kelvin による ber-bei 関数による計算が最初になります。その後、Maxwell の実験面の後継者である Hertz や J.J.Thomson の仕事が続きますが、「skin-effect」の用語を最初に使ったのは、 1891 年の J.Swinburne だったようです。この後、H.B.Dwight や A.E.Kennelly を始めとする、多くの優秀な理論家や技術者による挑戦が、最近に至るまで続くことになります。

なお、Litz Wire の語源はドイツ語の「Litzendraht」(編組線)だそうです。

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