この問題の解のパターンが５つしかないというスマートな証明が、 Idaho 大学の Arie Bialostocki により得られました。(注１)
まず、個々の盤の座標に下記の値(x,y,z)を割り当てます。
x y z
y z x
x y z x y z x
y z x y z x y
z x y z x y z
z x y
x y z
この値付けのポイントは、例えば、
x から y を越えて空所 z に移動という「越えて移動する操作」を 「+」演算子を使って、
x + y = zと記述すると、
x + y = z y + z = x z + x = y x + x = y + y = z + z = 0 x + 0 = x y + 0 = y z + 0 = zという加法群が構成できることです。
そこで、まず、 開始局面のすべてのペグの値の総和 を求めると y になります。
次に、x + y = z, y + z = x, z + x = y を考えると、 ペグの飛び越し移動と除去という操作では、 盤に残ったペグの値の総和は変わりません。
つまり、ゲームの間、ペグの移動にかかわらず、 盤に残ったペグの値の総和(y)は不変ですから、 ペグが１つだけ残るという最終局面では、 残ったペグは値 y(Y) を持つことになります。
. y .
Y . .
. Y . . Y . .
y . . y . . y
. . Y . . Y .
. . Y
. y .
一方、回転および上下左右の対称性を考えると、 上図の Y は盤の置きかた次第で x になったり z になったりしますから、 盤の置きかたにかかわらず y の値になれる場所は、y だけです。
かくて、最終局面で残るペグの位置は下図の５箇所だけになりましたが、
. y .
. . .
. . . . . . .
y . . y . . y
. . . . . . .
. . .
. y .
この直前の状態は下図のとおりですから、
すべて中心に１つのペグを残せるパターンになります。
. . .
. z .
. . . x . . .
. z x . z x .
. . . z . . .
. x .
. . .
注１ A.Bialostocki,- An Application of Elementary Group Theory to Central Solitaire, The College Mathematics Journal, v 29, n 3,May 1998, 208-212.