表皮効果 - 導体の渦電流問題 (1)

ケーブル(electrical cable)の電気特性として重要なのは、 単位長あたりの抵抗(resistance)、キャパシタンス(Capacitance)、 インダクタンス(inductance)、コンダクタンス(conductance)ですが、 ポリエチレンなどの無極性の 優れた絶縁材料を使えば コンダクタンスを無視できることが多く、 キャパシタンスも測定や計算が容易で周波数特性がありません。

しかし、導体の抵抗と導体の内部インダクタンスは 原理的に避けることのできない周波数依存性(frequency dependency)を持ち、 その計算も簡単とは言えず、 ここでは、この導体内部インピーダンス計算の基本を解説します。

導体内部には導体内部を流れる電流自体に起因する交番磁場(alternating magnetic field)と他の導体に流れる電流に起因する交番磁場が発生し、 それがまた渦電流(eddy current)と呼ばれる電流を生成することになりますが、 これら全てを考慮に入れた導体内部の交番電磁場は 下記の３次元の偏微分方程式により高い精度で計算することができます。 (注１)

  ∇²E = j*ω*σ*μ*E              (1)
  ∇²i = j*ω*σ*μ*i              (2)
  ここに、
	E = 電界の強さ (V/m)
	i = 電流密度 (A/m²)
	j = sqrt(-1)
	μ = 導体の透磁率 (H/m)
	σ = 導体の導電率 (S/m)
	σ = 導体の導電率 (S/m)
	ω = 角周波数 (rad/s)
	      = 2*π*f
	f = 周波数 (Hz)

交流波形としての正弦波は振幅(amplitude)と位相(phase - タイミング)の二つで記述できますから、 電気工学の交流理論(Alternate Current theory)で発明された 複素表現(phasor)を使うと簡潔に表現できて、 すべての計算は複素演算(complex arithmatic)になります。

1. 円形断面導体の内部インピーダンス

以下、 軸対象になる円形断面の直線導体という簡単で実用的な場合を考えます。

１図 軸対称導体の断面

円形断面の軸対称導体の場合は交流電流の向きが軸方向で、 その電流による磁場が円周方向になり、 電流の大きさは中心軸からの距離だけで決まることになって、 中心軸を原点にした円筒座標を使うと、 １図の半径 r に於ける電流の大きさ i(r) は下記の微分方程式で記述できます。 (注２)

  (d/dr)^2(i(r)) + (1/r)(d/dr)(i(r)) = j*ω*μ*σ*i(r)              (3)
  ここに、
	r = 半径 (m)
	i(r) = 導体内半径 r の円周上の電流 (A)
	(d/dr)(f) = 関数 f の r による１次微分
	(d/dr)^2(f) = 関数 f の r による２次微分

  i(r) = C*I0(k*r) + D*K0(k*r)                              (4)
  ここに、
	k = sqrt(j*ω*μ*σ)
	j = sqrt(-1) = (1/sqrt(2) + j/sqrt(2))^2
	C, D = 定数 (複素数)
	I0() = 零階の第１種変形ベッセル関数 (modified Bessel function of the first kind of order 0)
	K0() = 零階の第２種変形ベッセル関数 (modified Bessel function of the second kind of order 0)

1.1. 円筒導体の内部インピーダンス

円筒内部には電流が存在しない状況での、 ２図の外径 a、内径 b の円筒導体について (3) 式を解いてみます。 つまり、単独の円筒導体になりますが、 同軸ケーブルの内部導体として使う場合とか、 他の導電物体から十分に離れた円筒導体の近似になります。

２図 円筒導体

この場合は二つの境界条件

  ∂i(b)/∂r = 0                            (5)
  i(a) = i0                                 (6)
  ここに、
	i0 = 導体外表面の電流密度 (観測可能)

  0 = C*I1(k*b) + K1(k*b)
  i0 = C*I0(k*a) + K0(k*a)
  ここに、
	I1(x) = １階の第１種変形Bessel関数
	K1(x) = １階の第２種変形Bessel関数

  C = K1(k*b)*i0 / (I0(k*a)*K1(k*b) + I1(k*b)*K0(k*a)) * i0        (7)
  D = I1(k*b)*i0 / (I0(k*a)*K1(k*b) + I1(k*b)*K0(k*a)) * i0        (8)

  i(r)/i0 = K1(k*b)*i0 / (I0(k*a)*K1(k*b) + I1(k*b)*K0(k*a)) * I0(k*r)
	+ I1(k*b)*i0 / (I0(k*a)*K1(k*b) + I1(k*b)*K0(k*a)) * K0(k*r)    (9)

             a
  I = 2*π*∫i(r)*r*dr
           0
    = 2*πi0*A/k*(I1(A)*K1(B)-I1(B)*K1(A))/(I0(A)*K1(B)+I1(B)*K0(A))   (10)
  ここに、
	A = a*k = a*sqrt(ω*μ*ρ)     (10a)
	B = b*k = b*sqrt(ω*μ*ρ)     (10b)

導体断面方向の電流が存在しない以上 導体断面の電位はどこでも同じで、 導体表面の長さ方向の電位傾度は i0/σ ですから、 単位長あたりの電位差(電圧)を V とすれば

  V = i0/σ

  Zac/Rdc = (Rac + j*ω*Li)/Rdc = V/I/(π(a*a - b*b))
    = (1 - (b/a)^2)
	* A/2*((I0(A)*K1(B)+K0(A)*I1(B))/(I1(A)*K1(B)-K1(A)*I1(B))        (11)
  ここに、
	Rac = 交流抵抗 (Ω/m)
	Li = 導体内部インダクタンス (H/m)

  I0(A) -> 1  (ω -> 0)
  I1(A) -> 0  (ω -> 0)
  K0(A)*I1(B) -> 0  (ω -> ∞)
  K1(A)*I1(B) -> 0  (ω -> ∞)

  Zac/Rdc ≈ (1 - (b/a)^2)            (ω -> 0)
          ≈ (1 - (b/a)^2)*A/2        (ω -> ∞)

数値計算の場合は、下記の関係を頭においておくとよいと思います。

  I0(0) = 1
  I1(0) = 0
  K0(∞)*I1(∞) -> 0
  I0(∞)/I1(∞) -> 1
  K0(∞)/K1(∞) -> 1

1.2. 円柱導体の内部インピーダンス

同軸ケーブルの内部導体など、 最も一般的な導体は円柱導体(単線)ですが、 この場合は、(11) 式で B = 0 の場合を考えれば、

  i(r)/i0 = I0(k*r)/I0(k*a)                                      (12)
  Zac/Rdc = (A/2)*I0(A)/I1(A)                                    (13)

簡単ですが、i(r)/i0 を含めて複素数であることを忘れないでください。 電流密度は場所によって大きさが変わるだけでなく、 位相も変わります。 条件によっては表面電流と逆向きに流れるところもあるということです。

よく必要になる低周波と高周波の近似式を求めておくと、

  Zac/Rdc ∼ 1 + a^4*(ω*ρ*σ)^2/192
    + j*a^2*ω*ρ*σ/8 * (1 - 1 + a^4/8*(ω*ρ*σ)^2/384)
    	(a*sqrt(ω*ρ*σ) <= 2 で誤差 0.5 % 以下)
  Zac/Rdc ∼ sqrt(2)/4*a*sqrt(ω*ρ*σ) + 1/4
    + 3*sqrt(2)/32/(a*sqrt(ω*ρ*σ)
    + j * (sqrt(2)/4*sqrt(a*sqrt(ω*ρ*σ)/4 - 3*sqrt(2)/32/sqrt(ω*ρ*σ))
    	(6 <= a*sqrt(ω*ρ*σ) で誤差 0.1 % 以下)

ここで、直流抵抗が

  Rdc = 1 / (π*a^2*σ)

  a*sqrt(ω*ρ*σ) = sqrt(2*f*u/Rdc)

なお、 直流に於ける円柱導体の内部インダクタンスは良く知られた μ/(8*π) になることに注意してください。

1.3. 同軸円筒外部導体の内部インピーダンス

同軸ケーブルの外部導体は円筒導体になりますが、 円筒外部で電磁場が 0 になりますから、 形状は２図と同じでも、1.1. の解析とは境界条件が逆になります。 つまり、

  ∂i(a)/∂r = 0                            (14)
  i(b) = i0                                 (15)
  ここに、
	i0 = 導体内表面の電流密度

この条件で計算をやりなおすと、

  C = i0*K1(A)/(I1(A)*K0(B)+I0(B)*K1(A))                       (16)
  D = i0*I1(A)/(I1(A)*K0(B)+I0(B)*K1(A))                       (17)
  i1/i0 = (I0(A)*K1(A)+I1(A)*K0(A))/(I1(A)*K0(B)+I0(B)*K1(A)   (18)
  I/i0 = 2*π*b*b/B*(I0(A)+I1(A)*K0(A)/K1(A))/(I0(B)+I1(A)*K0(B)/K1(A))     (19)
  Zac/Rdc = (Rac + j*ω*Li)/Rdc
    = ((a/b)^2 - 1)*B/2*(I0(B)*K1(A)+K0(B)*I1(A))/(I1(B)*K1(A)-K1(B)*I1(A)) (20)
  ここに、
	i1 = 円筒導体内表面の電流密度 (A/m^2)

同軸ケーブルはHeltzとともにMaxwellの電磁気学の開拓を引継いだ天才 Heavisideの発明ですが、 外部世界とは電磁場がほぼ完全に切り離された独立宇宙が実現できる構造で、 唯一の外部世界との接点が外部導体表面になって、 ここに他の回路が共通インピーダンス(common impedance)で結合すると、 外部回路とのクロストーク(cross-talk 漏話)を発生します。

しかし、 周波数が高くなるにつれて表皮効果によりクロストークの電流は分離します。 同軸ケーブル内部の電流は外部導体内側に集まり、 外部世界のノイズ電流は外部導体の外側に集まるためです。

クロストークは電気回路の大敵ですから、 これは実に優れた構造で、 この表皮効果による一種の遮蔽効果を 伝達インピーダンス(transfer impedance)と呼んでいます。

  Zt = Vt/I                                     (21)
  ここに、
	Zt = 伝達インピーダンス (transfer impedance) (Ω)
	Vt = 同軸ケーブル外部導体外表面の単位長あたり電位差 (V)
	I = 同軸ケーブルの電流 (A)

現実のケーブルの場合は外部導体に編組(braid)構造を採用することが多く、 この場合はどうしても隙間ができますので、 ある程度周波数が高くなると、 隙間を通した外部世界(外部導体表面)とのキャパシタンス結合により Zt は大きくなってゆきます。 この対策としては編組に銅箔やアルミ箔を併用する手法 がよく使われますが、 柔軟性と繰り返し曲げに対する強度が犠牲になります。 外部導体に銅管を使った半硬質(semi-rigid)同軸ケーブルの場合は 極めて完全な遮蔽ができます。

Zt は (16), (17) から次のように計算することができます。

  Zt = i(a)/σ/I = (i(b)/I)*(i(a)/i(b)/σ               (22)
     = (I0(A)*K1(A)+I1(A)*K0(A))/(I1(A)*K0(B)+I0(B)*K1(A)
         / (2*π*b*b/B*(I0(A)*K1(A)+I1(A)*K0(A))/(I0(B)*K1(A)+I1(A)*K0(B)))

1.4. バイメタル導体の内部インピーダンス

細径同軸ケーブルで使われる銅覆鋼線(copper-covered steel) (注５)とか 銅線や銀線に異種金属をメッキ(plating)した導体は 異種金属を同芯円状に接合した バイメタル導体(bimetallic conductor)になります。

３図 バイメタル導体

この場合は被覆材と芯材それぞれに (4) 式を用意し、

  i1(r) = C1*I0(k1*r) + D1*K0(k1*r)    (b <= r <= a)
  i2(r) = C2*I0(k2*r) + D2*K0(k2*r)    (0 <= r <= b)
  ここに、
	i1(r) = 被覆材内部の電流密度
	i2(r) = 芯覆材内部の電流密度
	k1 = b*sqrt(ω*mu;1*σ1)
	k2 = b*sqrt(ω*mu;2*σ2)
	mu;1, sigma;1 = 被覆材の mu;, sigma;
	mu;2, sigma;2 = 芯覆材の mu;, sigma;

  r = 0 で i(r) は有限 (K0, K1 項を含まない)
  r = b で i(r)/σ が連続
  r = b で (1/(μσ)*(d/dr)(i(r)) が連続

             b                  a
  I = 2*π*∫i1(r)*r*dr + 2*π*∫i2(r)*r*dr
           0                   b

  Zac = (i2(a)/σ1)/I

この計算は面倒ですが、本質的に円筒導体の計算と同じで、 結果は下記のようになります。

  Zac/Rdc = (1 - (b/a)^2)*(1 - σ2/σ1))*A/2*N/D             (23)
  N = I0(A)+I1(B)*K0(A)/K1(B) + sqrt(μ1*σ2/(μ2*σ1))
	*I1(C)/I0(C)*((I0(A)*K0(B)-I0(B)*K0(A)/K1(B))
  D = I1(A)+I1(B)*K1(A)/K1(B) + sqrt(μ1*σ2/(μ2*σ1))
	*I1(C)/I0(C)*((I1(A)*K0(B)-I0(B)*K1(A)/K1(B))
  ここに、
	A = a*sqrt(j*ω*μ1*σ1)
	B = b*sqrt(j*ω*μ1*σ1)
	C = b*sqrt(j*ω*μ2*σ2)
	a = 導体の外径 (m)
	b = 導体の芯径 (m)
	σ1 = 被覆材の導電率 (S/m)
	σ1 = 被覆材の導電率 (S/m)
	μ1 = 被覆材の透磁率 (H/m)
	σ2 = 芯材の導電率 (S/m)
	σ2 = 芯材の導電率 (S/m)
	μ2 = 芯材の透磁率 (H/m)

  I0(z)*K1(z)+I1(z)*K0(z) = 1/z                        (24)

(24) 式の結果は 1943 年に B.R.Tear,Jr と J.R.Webb が求めたもので、 元論文は下記になります。

  B.R.Tear,Jr and J.R.Webb,- Skin Effect in Bimetallic Conductors
	Electrical Engineering, Trans. June 1943, Volune 62, pp 297-302

  B.R.Tear,Jr and J.R.Webb,- Copper-Covered Steel Wire at Radio Frequencies
	Proceedings of the I.R.E, July 1944, pp397-403

1.5. 近似式の工夫

円形断面導体の表皮効果に対する良い近似式を作るのは難しいのですが、 Levasseur は円柱導体の表皮効果について、 全周波数領域で +-1% 誤差に収まる面白い近似式を発見しました。 (注６)

次項で解説する無限平板の結果から、 高周波では Rac/Rdc と Xac/Rdc が等しいという結果が得られますので、 Levasseur の結果を内部インピーダンスにも応用できそうですが、 後に Harold Hues が 1 < u で +-7% の誤差で収まる Xac の近似式を作り、 この二つをまとめた結果が次式です。

  Zac/Rdc = (1 + (3^6 + 8*u^6)^(1/6))/4
	+ j*0.538*u^2/(1 + (3^6 + 8*u^6)^(1/6))             (25)
                    (25)
  ここに、
	u = a*sqrt(ω*μ*σ)
	a = 導体半径 (m)
	ω = 2*π*f (rad/m)
	f = 周波数 (Hz)
	μ = 透磁率 (H/m) .. 非磁性体なら 4e-7*π
	&sigmal; = 導電率 (S/m) .. 軟銅なら 5.8e7
	&sigmal; = 導電率 (S/m) .. 軟銅なら 5.8e7

円筒導体については、円筒の内径を基準とした、下記の結果が知られています。

  Zac/Rs = sqrt(2)*u/4 - 1/4 + 3*sqrt(2)/(32*u)
	j*(sqrt(2)*u/4 - 3*sqrt(2)/(32*u))   (6<=u)         (26a)
  ここに、
	Rs = 1/(&pi*a^2*&sigma)
	a = 円筒内径 (m)

薄肉円筒の場合は、次式が知られています。

  Zac/Rdc = u/2*(sinh(u) + sin(u))/(cosh(u) - cos(u)) - t/r
	+j*(sinh(u) - sin(u))/(cosh(u) - cos(u))            (26b)
  ここに、
	u = t*sqrt(ω*μ*σ)
	r = 円筒外径 (m)
	t = 円筒の厚さ (m)

2. 無限平板導体の内部インピーダンス

４図 無限平板導体

幅と長さが無限大で厚さが半無限大の平板導体 の内部インピーダンスを考えます。 ちょっと現実離れしていると思われるかもしれませんが、 実際には極めて現実的かつ普遍的で、 しかも高周波に於ける導体の特性を非常によく理解できる条件なのです。

電磁場のサイズ(size 大きさ)は その波長との比較で大小がきまりますから、 高周波の場合は滑らかな曲面である限り、 表皮効果と同じ仕組みで末端に電流が集中する edge effectが問題になるところ以外は 事実上無限平板になります。 同軸ケーブルの内部導体も外部導体も、 その他一見不規則な形状の導体も、 高周波になると、いずれ無限平板と見做せるようになります。

(1) 式の ∇ を直交座標に書き換えると、

  (∂/∂x)^2(Ez) + (∂/∂x)^2(Ez) + (∂/∂x)^2(Ez) = j*ω*μ*σ*Ez  (27)

  (∂/∂y)^2(Ez) = j*ω*μ*σ     (28)

  Ez(y) = Ez0*exp(+-γy)                      (29)
        = Ez0*exp(-y/δ*exp(-j*y/δ)          (30)
  ここに、
	γ = sqrt(j*ω*μ*σ)
	   = (1 + j)/δ
	δ = sqrt(2/(ω*μ*σ))
	ω = 角周波数 (rad/s)
	   = 2*π*f
	f = 周波数 (Hz)
	μ = 導体の透磁率 (H/m)
	σ = 導体の導電率 (S/m)
	σ = 導体の導電率 (S/m)

この減衰はかなり大きなもので、表面から表皮深さ(skin depth)の３倍までの部分にほぼ全電流が集中しますから、 高周波では導体表面の極めて僅かな厚さしか利用できないことになります。

δ の値を求めるには導電率 μ と透磁率 σ の具体的な値が必要ですが、 注８に一般的な金属の値をまとめてあります。

ケーブルの導体として一般的な軟銅(soft annealed copper)だと

  δ = 6.61e-2/sqrt(f)
  ここに、
	δ = 表皮深さ (skin depth)  (m)
	f = 周波数 (Hz)

このように高周波電流が導体表面の極めて薄い層に集中する現象は 表皮効果(skin effect)と呼ばれ、 導体形状に関係なく内部インピーダンスのほとんどを決定します。

幅 1 m あたりの全電流は

        ∞
  Iz = ∫σ*Ez(y)*dy = σ*Ez0*δ/(1+j)
       0

  Zac = R + j*X = (1 + j)/(σ * δ)                 (31)
      = Rs * (1 + j)                                (32)
  ここに、
	Rs = 1 / (σ*δ)   (Ω)                     (33)

  Rac = Rs/(2*π*b)*(1 + b/a)
  ここに、
	Rac = 高周波の同軸ケーブルの交流抵抗 (Ω/m)
	a = 内部導体半径 (m)
	b = 外部導体半径 (m)

  Rac = 2*Rs/(2*π*a)
  ここに、
	Rac = 平行往復導体の交流抵抗 (Ω/m)
	a = 導体半径 (m)

なお、(3) 式で純抵抗とリアクタンスが等しいことに注意してください。

  Zac = R + j*ω*L

  R = ω*L

この性質から下記の考察により高周波ケーブルの位相歪が減衰と等しいという 重要な結果が得られます。

高周波ケーブルの基本的関係

  Z0 = sqrt(L/C)
  α = Rac/(2*Z0)
  β = ω*sqrt(L*C)
  ここに、
	α = 減衰定数 (neper/m)
	β = 位相定数 (rad/m)
	Rac = ケーブル導体の交流抵抗 (&Ohm;/m)
	Z0 = ケーブルの特性インピーダンス (Ω)
	C = ケーブルのキャパシタンス (F/m)
	L = ケーブルのインダクタンス (H/m)

  L = Le + Li
  ここに、
	Le = ケーブルの外部インダクタンス (H/m)
	Li = ケーブルの内部インダクタンス (H/m)

  β = ω*sqrt(L*C) = ω*sqrt(Le*C*(1 + Li/Le))

  β ≈ ω*sqrt(Le*C * (1 + Li/(2*Le))
     ≈ ω*sqrt(Le*C) + (ω*Li/2)*sqrt(C/Le)
     = ω*sqrt(Le*C) + (ω*Li)/(2*Z0)
     = ω*sqrt(Le*C) + Rac/(2*Z0)
     = ω*sqrt(Le*C) + α                (34)

一方、第２項は周波数軸測定のネットワークアナライザによる測定は無理ですが、 時間軸測定のオシロスコープでパルス波形の立上りの歪として容易に観察できます。 第１項に比べて極めて僅かな第２項がオシロスコープで容易に認識できるのは、 第１項が信号波形の遅延として機能するため、 オシロスコープではタイミングの違いとして認識され、 波形自体が変わらないのに、 第２項は波形そのものを変えてしまうためです。

つまり、この減衰と同じ大きさの第２項が位相歪を与え、 パルス波形伝送で重要な役割を果たすことになります。 このメカニズムはまた「減衰が歪を生む」とか「減衰を減らすと歪が減る」 といった誤解を生む原因ともなります。

3. スケーリング

以上の解析結果を見ると、 Zac/Rdc が

  Zac = Σf(Ai * sqrt(ω * μ * σ))
         i
  ここに
	Ai = 空間の幾何学的構造と電気的特性で決まる定数

  Zac/Rdc = F(f/Rdc)
  ここに
	f = 周波数 (Hz)
	Rdc = 直流抵抗 (&Ohm;/m)

Dwight は多くの構造について、このグラフを作成しましたが、 現代の数値計算でも、 解析対象を誤差の少ないサイズに変換するために利用することができます。 例えば、寸法を k 倍した場合は、 周波数を 1/k^2 倍すれば同じ結果が得られるわけです。

4. 注

4.1. 注１ - 導体内の交流電磁場の偏微分方程式

  rotH = i + ∂D/∂t
  rotE = -∂B/∂t
  divD = ρ, divB = 0, i = σE

  ∂/∂t → j*ω

4.2. 注２ - 円形断面導体の交流電流偏微分方程式

  ∇²(V) = (1/r)*(∂/∂r)(r*(∂V/∂r))

               r
  2*π*r*H = ∫i*2*πr*dr
              0

  ∂i/∂r + H/r = i                  (n.1.1)

                         r
  (i0 - i)/σ = -∂/∂t∫μH*dr   (n.1.2)
                       0

  ∂i/∂r = μσ*∂H/∂t

  ∇²A = -μ*J
  J = σ*E = -σ*∂A/∂t
  ここに、
	A = ベクトルポテンシャル (weber/m)
	J = 電流密度 (A/m^2)

  ∇²Ax = μσdAx/dt

  A = j*ω*μ*σ*A0*exp(j*ω*t)

  ∇²Ax = (1/r)((d/dr)(r*dAx/dr)

  (d/dr)^2(Ar) + (1/r)*(d/dr)(Ar) = j*ω*μ*σAr

  A(r) = A(0)*I0(sqrt(j*ω*μ*σ)*r)

4.3. 注３ - Bessel関数の参考書

  N.W.McLachlan,- Bessel Functions for engineers
	(Oxford Engineering Science Series), 1955

  Frank Bowman,- Introduction to Bessel Function
	(Dover Publications Inc.), 1958 ISBN 0-486-60462-4

  Dover には良い本が多いのですが、これは和訳もあります。

  フランク・ボウマン,- ベッセル関数入門
	(日新出版) ISBN4--8173-0033-7

4.4. 注４ - Bessel関数の微積分

  (d/dx)(I0(x) = I1(x)
  (d/dx)(K0(x) = -K1(x)
  (d/dx)(x*I1(x)) = x*I0(x)
  (d/dx)(x*K1(x)) = -x*K0(x)
  ∫x*I0(k*x)*dx = (x/k)*I1(k*x)
  ∫x*K0(k*x)*dx = -(x/k)*K1(k*x)

  bern(x) + j*bein(x) = Jn(x*j*sqrt(j)) = In(x*sqrt(j))
  kern(x) + j*kein(x) = jn*Kn(x*sqrt(j))
  ここに、
	j = sqrt(-1)
	Jn(x) = n 階の第１種 Bessel 関数
	In(x) = n 階の第１種変形 Bessel 関数
	Kn(x) = n 階の第２種変形 Bessel 関数

4.5. 注５ - 銅覆鋼線

  a = 0.1303e-3 (m)
  b = 0.1024e-3 (m)
  σ1 = 3.583e5 (S/m)
  σ1 = 3.583e5 (S/m)
  σ2 = 5.464e7 (S/m)
  σ2 = 5.464e7 (S/m)
  μ1 = 1.0*4*πe-7 (H/m)
  μ2 = 7.88*4*πe-7 (H/m)

4.6. 注６ - Levasseur の式

  Rac/Rdc = (1 + (3^6 + 8*u^6)^(1/6))/4

  Levasseur A.,- Calcul rapide de l'effect Kelvin par une nouvelle formule
	valable en toutes circumstances
	(Revne generale de l'Electricite, dec 1929)

4.7. 注７ - 導体内部に於ける電磁場の伝搬

4.8. 注８ - よく使われる金属の導電率

4.9. 注９ - 表面抵抗

無限平板の場合は幅と深さ(断面積)が限大ですから、直流抵抗が 0 になって、 Zac/Rdc が使えず、観測可能なのは表面の電位差だけですが、 理論的に全電流がわかりますから、 表面の電位傾度と全電流の比としてのインピーダンスが定義できて、 それが表面インピーダンスになります。

4.10. 注１０ - スケーリング

幾何学的電磁的相似な非磁性体の伝送路で Zac/Rdc が sqrt(f/Rdc) で決まってしまうという性格は、 Maneback の積分方程式から一般的に成立することがわかりますので、 あらゆる構造の伝送路で使えます。

導体材料が磁性体の場合は、 例えば、円柱なら半径 a、円筒なら導体の等価半径

  at = sqrt(2*a*t - t^2/)/δ
  ここに
	a = 円筒外径 (m)
	t = 円筒の厚さ (m)
	δ = 表皮深さ (m)
	at = 等価半径 (m)