ケーブル VNA 測定の注意点

ケーブルに沿って伝搬する電磁波には特性インピーダンス不一致点に於ける反射と 導体や誘電体中の発熱による減衰が発生します。 VNA(Vector Network Analyzer)は回路網理論(Circuit Theory)の S-parameter(Scattering parameter)を測定する装置ですが、 周波数領域の特性ですから、 時間領域の伝搬を考える分布定数線路理論の反射や透過、減衰の概念とは違うことに 注意が必要です。

VNA(Vector Network Analyzer) でケーブルの測定で得られる S-paramete とケーブルの二次定数(Scondary Parameter) の関係は次のとおりです。 (注１)

  S11 = S22 = (Z0/Zs - Zs/Z0) * tanh(γ * l)
	/ (2 + (Z0/Zs + Zs / Z0) * tanh(γ * l))                      (1)
  S21 = S12 = 2 / (2 * cosh(γ * l) + (Z0/Zs + Zs/Z0) * sinh(γ * l)) (2)
  ここに
	Zs = VNA のシステムインピーダンス (Ohm) .. 通常 50 Ohm
	Z0 = ケーブルの特性インピーダンス (Ohm)
	γ = ケーブルの伝搬定数
	  = α + j * β
	α = ケーブルの減衰定数 (neper/m)
	β = ケーブルの位相定数 (rad/m)
	j = sqrt(-1)
	l = ケーブル長 (m)

S11, S22 は Z0 == Zs の場合を除いて、 分布定数線路理論の反射係数とは一致しません。 S11 には試料始端の反射波に加えて、 試料終端から戻ってくる無数の反射波が加わっているためです。

同様に S21, S12 についても Z0 == Zs の場合を除いて、 分布定数線路理論の透過係数とも一致しません。 試料終端からの透過波に加えて、 試料始端からの無数の再反射波が加わっているためです。

これら結果として、Z0 == Zs の場合を除いて、 S11, S21, S12, S22 の周波数特性には波打ちを生じます。 (注２)

(1), (2) からケーブルの二次定数を求めると、下記が得られます。

  Z0 = Zs * sqrt((1 + S11)^2 - S21^2) / ((1 - S11)^2 - S21^2))               (3)
  γ * l = asinh((1 + S11)^2 - S21^2) * ((1 - S11)^2 - S21^2) / (2 * S21)^2  (4)

周波数特性の波打ちがない Z0 = Zs なら

  γ * l = -log(S21)

  Z0 ≈ (1 + S11) / (1 - S11) * Zs
  γ * l ≈ -log(S21)

ところで、

  tanh(γ * l) = tanh(α * l + j * β * l)
	= (tanh(α * l) + j * tan(β * l))
		/ (1 + j * tanh(α * l) * tan(β * l))

一方、伝搬定数、すなわち、減衰定数と位相定数の測定では、 この困難がありませんが、 ケーブル長が短いと測定精度は低下します。

つまり、VNA は短いケーブルの測定には不向きなのです。 どうしても測定したいときは、 減衰が十分大きくなるような長い試料を使うか、 ケーブル長を 1/4 波長の整数倍、つまり、 l = (2 * n + 1) / 2 π (n = 0, 1, 2, ..) になる周波数に於ける S11, S21 の値を使って計算します。 (注３)

なお、VNA による測定結果は通常 S-parameter の絶対値を 20*log(|S11|) などの電力比、偏角を度単位で表示していますから、 それぞれ元の大きさ(neper)と ラジアン(radian)単位に戻してから計算しなければなりません。

注１ - S-paramete とケーブルの二次定数の関係

F-parameterを経由して変換すると容易に証明できます。 詳細は Ｓパラメータの基礎をご覧ください。

なお、試料始端と終端の電圧・電流を使った S-parameter 本来の定義

  S11 = (V1 - Zs * I1) / (V1 + Zs * I1)
  S21 = 2 * V2 / (V1 + Zs * I1)
  S22 = (V2 - Zs * I2) / (V2 + Zs * I2)
  S12 = 2 * V1 / (V2 + Zs * I2)
  ここに、
	V1 = 試料始端電圧 (V)
	I1 = 試料始端電流 (A)
	V2 = 試料終端電圧 (V)
	I2 = 試料終端電流 (A)

  V1 = cosh(γ * l) + cosh(γ * l) * Z0 * I2
  I1 = sinh(γ * l) * V2 / Z0 + cosh(γ * l)) * I2

注２ - VNA 測定値のケーブル長依存性

ケーブルの入力インピーダンスと減衰がケーブル長に依存するため、 ケーブル始端と終端の反射量と透過量はケーブル長によって変化します。

詳細は 伝送線路理論の基礎をご覧ください。

注３ - 長いケーブル試料の利点

短いケーブルの測定に不向きというのは、 伝送回路に於いて短いケーブルが無視できるということですが、 減衰が十分大きく、試料端の反射波がほとんど減衰してしまうような、 長いケーブルを使えば、γ * l → ∞ のとき

  S11 = S22 ≈ Z0/Zs - Zs/Z0
  S21 = S12 ≈ (2 / (1 + (Z0/Zs + Zs/Z0) / 2) * exp(-γ * l)