ケーブル接続部分の回路モデル

1. 問題の起源

高周波ケーブルは長さ方向の電気特性が一様になるように管理されますから、 特性インピーダンスが周期的に変化しない限り(注１)、 ケーブル内部の反射はごく僅かですが、 ケーブルの接続部分でこの一様性を維持するのが難しくて、 かなりの反射が起きることが多く、 この影響をどう評価すればよいかで悩みます。

以下、この接続部分を回路的にどう解釈すればよいかを考えてみますが、 これはケーブル問題だけでなくプリント基板や導波管を含む、 すべての伝送路に共通する原理です。

2. 問題の着眼

１図 ケーブル(伝送ライン)の接続(コネクタ)部分

１図のようなケーブル(伝送ライン)始端の接続区間 を考えます。 ここには、コネクタやコネクタとケーブルの接続部分、 プリント基板ならストリップラインと他のパターンの接続部分、ビアホールといった、 線路の一様性が失われる部分の全てを含むことにします。

設計上、 この接続区間の長さは、 伝送される電磁波の波長(注２)に比べて 十分短かくすることが必要不可欠ですから、 実用的な接続区間の電圧と電流は、 その内部でほぼ一様と見倣すことができます(注３)ので、 この接続区間の伝送特性を

  Z0 = 接続区間の平均特性インピーダンス (Ohm)
  γ = 接続区間の平均伝搬定数
     = α + j*β
  α = 接続区間の平均減衰定数 (neper/m)
  β = 接続区間の平均位相定数 (rad/m)
  l = 接続区間の長さ (m)
  j = sqrt(-1)

２図 ケーブル(伝送ライン)の接続区間の回路モデル

まず、TDR 測定等で問題になる「反射波」に対する影響から考えることにしますが、 反射波は反射点の入力インピーダンスで決まりますから、 接続区間の影響を接続区間始端の入力インピーダンスから評価してみましょう。

接続区間の後ろのケーブル以降の全回路を ケーブルの入力インピーダンス Zt (Ohm) として １つのインピーダンス素子にまとめることにすれば、 ３図のように解釈することができます。

３図 ケーブル(伝送ライン)の接続区間の回路モデル

3. 反射波に対する接続区間の回路モデル

３図の回路の入力インピーダンス Zin は、 伝送線路の良く知られた関係式、

  Zin/Z0 = (Zt/Z0+tanh((α+j*β)*l))/(1+(Zt/Z0)*tanh((α+j*β)*l))	(1)

このケースのように、 接続部分が短く、損失が小さい場合は、 β*l<<1 かつα*l<<1 が成り立ちますから、

  tanh((α+j*β)*l)) 〜 α*l+j*β*l

  Zin/Z0 = (Zt/Z0+α*l+j*β*l)/(1+(Zt/Z0)*(α*l+j*β*l))				(2)

この接続部分の回路的解釈の最も簡単な可能性としては、 ４図の直列等価回路

４図 直列等価回路

か、 ５図の並列等価回路

５図 並列等価回路

になりますが、 まず、直列等価回路から考えます。

3.1. 直列等価回路

この場合は、

  Zin = Ze + Zt

  Ze = Zin - Zt
     = (Z0^2-Zt^2)((α*l)*(Z0+Zt*α*l)+Zt*(β*l)^2
	+ j*β*l*Z0)/((Z0+Zt*α*l)^2+(Zt*β*l)^2)

  Ze = Zin - Zt
     = (Z0^2-Zt^2)(Z0*α*l + j*β*l*Z0)/Z0^2				(3)

ここで、位相定数に関する下記の基本的な関係

  β = ω*/v
  ここに
	ω = 角速度 (rad/s)
	   = 2*π*f
	f = 周波数 (Hz)
	π = 3.14159265..
	v = 電磁波の位相速度 (m/s)

  Ze = (Z0^2-Zt^2)(α*l + j*ω*l/v)/Z0

  Ze = Re + j*ω*Le
  ここに
	Re = Zt*(Z0/Zt - Zt/Z0)*α*l	(Ohm)				(4)
	Le = Zt*(Z0/Zt - Zt/Z0)*l/v	(H)				(5)

ここで、 l/v は電磁波が接続部分を通り抜ける時間 であることに注意してください。 つまり、電磁波の伝搬遅延がインダクタンスとして解釈されることになります。 また、減衰が抵抗として解釈されることは当然です。

接続区間のインピーダンス・マッチングが取れていて、 Z0 = Zt の場合はリアクタンス分がなく、 これが「無反射」の意味です。

Z0 < Zt の場合は負のインダクタンスになりますが、 この場合は並列等価回路で考えるほうが自然で、下記のようになります。 (注５)

3.2. 並列等価回路

５図の並列等価回路の場合は、

  Yin = Ye + Yt
  ここに
	Yt = 1/Zt

  Ye = Yin - Yt
     = ((Zt^2-Z0^2)*α*l + j*β*l*(Zt^2-Z0^2))/Z0/Zt^2

となって、

  Yin = Ge + j*ω*Ce
  ここに
	Ge = (Zt/Z0-Z0/Zt)/Zt*α*l					(6)
	Ce = (Zt/Z0-Z0/Zt)/Zt*l/v					(7)

この場合も、l/v は電磁波が接続部分を通り抜ける時間ですから、 電磁波の伝搬遅延がキャパシタンスとして解釈され、 減衰がコンダクタンス(抵抗)として解釈されることになります。 抵抗は熱損失を生み、 インダクタンスやキャパシタンスのエネルギ蓄積機能は遅延を生み出します。

3.3. 接続区間の等価回路

以上をまとめると、線路の接続部分として、 次ぎのような等価回路が得られます。 通常の接続区間の損失は他の部分に比べて十分小さいですから、 Re や Ge は無視できるのが普通です。

表１ 接続区間の等価回路

条件	等価回路	パラメータ
Zt<Z0		Le = (Z0/Zt-Zt/Z0)*Zt*l/v Re = (Z0/Zt-Zt/Z0)*Zt*α*l
Zt>Z0		Ce = (Zt/Z0-Z0/Zt)/Zt*l/v Ge = (Zt/Z0-Z0/Zt)/Zt*α*l

ここに
	Zt = 接続部分の後に接続される伝送ラインの特性インピーダンス (Ohm)
	Z0 = 接続部分の平均特性インピーダンス (Ohm)
	α = 接続部分の平均減衰定数 (neper/m)
	l = 接続部分の長さ (m)
	v = 接続部分の電磁波の平均位相速度 (m/s)

波長に比べて十分短い伝送ラインが集中定数素子として理解できるのは当然 ですが、 その性格はその後に接続される伝送ラインによって異なり、 伝送ラインの特性インピーダンスに比べて接続部分の特性インピーダンスが大きければ インダクティブ、 小さければキャパシティブで、 その差が大きい程その値も増加します。

例えば、ケーブルとコネクタの接続点では、 往復２導体の間隔が広くなることが多く、 この場合は、高周波に於ける特性インピーダンスの近似式

  Z0 = sqrt(L/C)
  ここに
	Z0 = 特性インピーダンス (Ohm)
	L = インダクタンス (H/m)
	C = キャパシタンス (F/m)

4. SPICEによる反射波形のシミュレーション (1)

さらに理解を深めるために、 上記の結果をSPICEでシミュレーションしてみましょう。

50 Ohm の伝送ラインに約 20 mm の 75 Ohm ラインを挿入したときの TDR (Time Domain Refrectmetry) 波形は次のようになります。

Short 75 Ohm section in 50 Ohm line
V1 1 0 PULSE (0 1 0 130P 1)
R1 1 2 50
T1 2 0 3 0 Z0=50 TD=0.5N
T2 3 0 4 0 Z0=75 TD=0.067N
R2 4 0 50
.tran .01p 2n
.plot tran v(2)

この例では、 接続区間の長さが波長の 2 % になっていますが、 反射波形が台形にならず、山型や谷型になるということは、 この 75 Ohm 区間が伝送波形の高い周波数成分の波長に比べて十分短く、 前記の議論によって、集中定数と見倣せるという意味です。 つまり、この程度の立上り時間なら (注６)、 この 75 Ohm 区間はインダクタンスに見えることになって、 その値は

  Le = (75/50 - 50/75) * 0.067e-9 = 2.79e-9 = 2.79 nH

事実、 上記の 75 Ohm ラインをこのインダクタンスで置き換えた結果は下記のようになって、 この解釈の正当性を確認することができます。

Le in 50 Ohm line
V1 1 0 PULSE (0 1 0 130P 1)
R1 1 2 50
T1 2 0 3 0 Z0=50 TD=0.5N
L1 3 4 2.79NH
R2 4 0 50
.tran .01p 2n
.plot tran v(2)

また、上記とは逆に、 75 Ohm ラインの途中に 50 Ohm の短いラインを挿入したときは、 キャパシタンスに見えるはずですが、 これも上記と同様に確認することができます。

まず、分布定数の場合は下記のようになります。

Short 50 Ohm section in 75 Ohm line
V1 1 0 PULSE (0 1 0 130P 1)
R1 1 2 50
T1 2 0 3 0 Z0=75 TD=0.5N
T2 3 0 4 0 Z0=50 TD=0.067N
R2 4 0 75
.tran .01p 2n
.plot tran v(2)

等価キャパシタンスは

  Ce = (75 / 50 - 50 / 75) / 75 * 0.067e-9 = 7.44e-13 = 0.744pF

Ce in 75 Ohm line
V1 1 0 PULSE (0 1 0 130P 1)
R1 1 2 75
T1 2 0 3 0 Z0=75 TD=0.5N
C1 3 0 0.744PF
R2 3 0 75
.tran .01p 2n
.plot tran v(2)

5. 等価回路パラメータの実測

ネットワーク・アナライザやインピーダンス測定機で 等価回路のパラメータを求めるのはかなり難しいか面倒になるのが普通ですが、 等価インダクタンスと等価キャパシタンスについては、 TDR を使うと比較的簡単で、 以下、その方法を説明します。

６図 インダクタンスを挿入した伝送線路

まず、伝送線路の途中にインダクタンスを挿入した場合、 その電圧反射係数は下記のようになります。 計算は簡単ですから、 必要なら過渡現象論の文献を見てください。

  r(t) = r1 + (1 - r1)*exp(-(Z1+Z2)/L*t)
  ここに
	r1 = (Z2 - Z1)/(Z2 + Z1)

  r(t) = exp((-2*Z0)/L*t)

   ∽
  ∫r(t)*dt = L/2/Z0
  0

  L = 2*Z0*∫r(t)*dt							(8)

７図 キャパシタンスを挿入した伝送線路

同様に、キャパシタンスを挿入した場合は、

  r(t) = -r1 + (1 + r1)*exp(-(1/Z1 + 1/Z2)/C*t)
  ここに
	r1 = (Z2 - Z1)/(Z2 + Z1)

  C = 2/Z0*∫r(t)*dt							(9)

(6), (7) の積分は、 測定された波形をコンピュータで処理すれば簡単ですが、 人手で手っ取り早くやるのでしたら、反射波形の高さの平均と幅の平均を読みとって、 波形の山、谷を同じ面積の長方形に変換し、 下記のように計算する程度でも、実用上十分な精度が得られます。

  L = 2*a*w*Z0		(反射波が上に出る場合)
  C = 2*a*w/Z0		(反射波が下に出る場合)
  ここに
	a = 反射波形の平均高さ (反射係数)
	w = 反射波形の平均幅 (s)
	Z0 = 線路の特性インピーダンス (Ohm)

6. 進行波に対する接続区間の等価回路

以上、接続部分が反射波に与える影響を考えてきましたが、 次に、進行波に与える影響を考えます。

７図 伝送回路

進行波に影響を与えるのは伝送特性ですから、 ７図の伝送回路の良く知られた関係、

  Vr = Vs*cosh(γ*l) - Z0*Is*cosh(γ*l)					(10)
  Ir = -Vs/Z0*cosh(γ*l) + Is*cosh(γ*l)				(11)
  ここに
	γ = 伝搬定数
	   = α +  j*β
	α = 減衰定数 (neper/m)
	β = 位相定数 (rad/m)
	l = 線路の長さ (m)
	Vs = 線路送端の電圧 (V)
	Is = 線路送端の電流 (A)
	Vr = 線路受端の電圧 (V)
	Ir = 線路受端の電流 (A)

  Vr = Ir*Zr								(12)
  Vs = Es - Is*Zs							(13)
  ここに
	Zr = 受端に接続された負荷インピーダンス (Ohm)
	Zs = 信号源の内部インピーダンス (Ohm)
	Es = 信号源の電圧 (V)

  Vr/Es = Zr/((Zs+Zr)*cosh(γ*l) + (Zs/Z0+Zo/Zr)*Zr*sinh(γ*l))		(14)

  cosh(γ*l) 〜 1
  sinh(γ*l) 〜 γ*l

  Vr/Es 〜 Zr/(Zs + Zl + (Zs/Z0+Z0/Zr)*Zr*γ*l))			(15)

８図 l が小さいときの、７図の直列等価回路

ここで、８図の直列等価回路に於ける Vr/Es = Zr/(Zs + Ze + Zr) を (15) 式と比べれば、

  Zf = Rf + j*ω*Lf

  として、

  Rf = Zr*(Zs/Z0 + Zs/Zr)*α*l						(16)
  Lf = Zr*(Zs/Z0 + Zs/Zr)*Z0*l/v					(17)

ここで、６図のケースを考えると、 インダクタを通り抜ける電磁波の電圧透過係数 t(t) は次のようになります。

  t(t) = (1 + r1)*(1 - exp(-(Z1+Z2)/L*t))
  ここに
	r1 = (Z2 - Z1)/(Z2 + Z1)

反射波形の立上りは Le, Ce に関係なく極めて速いのですが、 透過波形の立上りは Lf が大きい程遅くなることに注意してください。

7. SPICEによる透過波形のシミュレーション

上記の結果も、SPICEでシミュレートしてみるとよく理解できると思います。

まず、50 Ohm の伝送ラインに平均特性インピーダンス 200 Ohm、 電磁波の通過時間 0.01nS の接続部分を入れたとき、 接続部分を透過した波形は次ぎのようになります。

Incident wave after 200 Ohm short section in 50 Ohm line
V1 1 0 PULSE (0 1 0 30P 1)
R1 1 2 50
T1 2 0 3 0 Z0=200 TD=0.01N
R2 3 0 50
.tran .1p 200p
.plot v(3)

ここで、パルスの立上り時間 (30pS) をもっと短くすると、 透過波形の立上りが遅くなる理由が多重反射によるものであることがよくわかります。

透過波形に対する等価インダクタンス Lf は

  Lf = 200*(1 + 50*50/200^2)*0.01e-9 = 2.125e-9 (H)

Incident wave after inductance of 2.12nH in 50 Ohm line
V1 1 0 PULSE (0 1 0 30P 1)
R1 1 2 50
L1 2 3 2.12N
R2 3 0 50
.tran .1p 200p
.plot v(3)

Lf を実測する場合は、反射波と同じように、 透過波について、(6) 式を使うこともできますが、 (5), (7), (17) から、下記の関係が得られますので、 TDR の結果から求めることもできます。

  Lf = (Z0^2+Zt^2)/(Z0^2-Zt^2)*Le		(Zt > Z0 のとき)
     = (Zt^2+Z0^2)/(Zt^2-Z0^2)*Le		(Zt < Z0 のとき)

以上で、 伝送線路の接続点、あるいは、不均一部分を集中定数回路として解釈すると、 極めて見通しがよくなって、 反射波については、 不連続部分の平均特性インピーダンスが回路の特性インピーダンスより大きければ インダクタンス、 小さい場合はキャパシタンスに見え、 透過波については、 いずれの場合もインダクタンスに見えるということが理解できると思います。

不連続部分が透過波の立上りを遅くするという点は、 よく見落とされていますので、注意が必要です。

8. 注

8.1. 特性インピーダンスの周期的変化

ケーブルの長さ方向の特性インピーダンスの変化がわずかでも、 その変化に周期性がある場合は、 その周期が 1/4 波長の奇数倍になる周波数で、 全ての反射波が同位相で加算されますから、 予期しない大きな減衰を生みます。

8.2. パルス波形の電磁波の波長の評価

パルス波形の場合は、 その波形に大きな影響を与えるスペクトル成分の上限の波長との比較になります。 よく使われる目安としては、

  Fmax = 0.35/Tr
  ここに
	Tr = パルスの立上り時間 (S)
	Fmax = 波形に影響を与えるスペクトルの最高周波数 (Hz)

  λ = 8.57e8 * Vr * Tr							(a)
  ここに
	λ = 波長 (m)
	Vr = 速度係数 (電磁波の伝搬速度 / 真空中の光速)

8.3. 接続部分内で電圧電流がほぼ一様と見倣せるかどうかの判断

接続部分を集中定数と見倣せるかどうかは、 TDR 波形で考えると極めて明解になります。 例えば、「SPICEによるシミュレーション」の例で、 立上がり時間をもっと短くして、 得られた波形を観察してみてください。 波形が台形になってくれば、 接続部分先端の反射と後端の反射が完全に分離できているわけですから、 集中定数回路と見倣すのは無理で、 分布定数回路として理解しなければなりません。

接続部分先端の反射と後端の反射が混じり合った状態が、 「点」として理解できるための条件です。

8.4. tanh((α+j*β)*l)) 〜 α*l+j*β*l

よけいなお世話かもしれませんが、

  tanh((α+j*β)*l))
	= (tanh(α*l)+tanh(j*β*l))/(1+tanh(α*l)*tanh(j*β*l))
	= (tanh(α*l)+j*tan(β*l))/(1+tanh(α*l)*jtan(β*l))

  tanh(α*l) 〜 α*l

  tan(β*l) 〜 β*l

  tanh((α+j*β)*l)) 〜 α*l + j*β*l

7.5. 直列インダクタンスと並列キャパシタンスの関係

４図で Ze = j*ω*L、５図で Ye = j*ω*C として、 Zin と Yin が等しくなる条件を考えれば、

  C = -L / (Z^2 + j*ω*L*Z)

  C = -L / Z^2

7.6. パルス波形の立上り時間と接続区間の長さ

0.5nS (TD=0.5N) の遅延は、速度係数 1.0 として、 0.15 m の長さになります。 一方、130pS (130P) の立上り時間を (a) の評価すれば、 波長を 0.11 m と見倣すことになり、 このシミュレーションの結果から見る限り、 (a) 式で評価される長さ程度までなら、 集中定数と見倣しても大きな誤差は生まれないことがわかります。

7.7. 透過波に対するキャパシタンス等価回路

透過波に対する等価回路としては、７図の等価回路を使うこともできて、 この場合は、

  Cf = (1/Zs + 1/Zr)*z0*l/v

なお、下記の関係があることに注意してください。

  zs*zr = Lf/Cf